Верно: Надежда и Осип Мандельштам, Надежде и Осипу Мандельштам.
Корректны оба варианта.
Верно: Подкладывать дрова в костер.
Следует использовать существительное надежда в форме единственного числа.
Игры назывались "Старты надежд".
Правильно: оправдать надежды, не оправдать надежд.
Ошибки нет.